等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它有两条边长相等，且其中一条边与另外一条边垂直相交成直角的形状。我们可以通过勾股定理来证明等腰直角三角形的性质。

根据勾股定理，对于一个直角三角形，它的两条短边的平方和等于它的斜边的平方，即a² + b² = c²。对于等腰直角三角形，它的两条短边相等，所以可以表示为a² + a² = c²，即2a² = c²。这个式子可以进一步简化为a² = c² / 2，也就是说，等腰直角三角形的斜边长是它的短边长的平方根乘以√2。

除了斜边长和短边长之间的关系，等腰直角三角形还有许多其他有趣的性质。例如，它的两个底角相等，即两个短边所对应的角度相等；它的高线既是它的一条短边，也是它的中线和中线所对应的角平分线；它的内角和是180度，等等。

因为等腰直角三角形的性质较为特殊，所以在数学和几何学中经常被用来作为例题来说明一些原理和定理。例如，它可以用来证明勾股定理或者平面几何中的一些基本性质。同时，在实际生活中，等腰直角三角形也有广泛的应用，例如在建筑设计中，常用来设计房屋的屋顶形状或者墙角的角度等。