开普勒第三定律是描述行星运动的一条公式，也叫做调和定律。它可以用来计算行星轨道周期和距离，是天文学中非常重要的定理之一。

开普勒第三定律的数学表达式如下：

$T^2 = \frac$

其中，$T$是行星绕恒星公转一周所需要的时间，$a$是行星离恒星的平均距离，$G$是万有引力常数，$M$是恒星的质量。

这个公式的推导过程非常复杂，需要运用牛顿力学和开普勒三定律。下面我们简单介绍一下这个公式的推导过程。

首先，根据开普勒第二定律，我们知道行星在其椭圆轨道上的面积速率是恒定的，即：

$\frac = \fracr^2\frac = \frac$

其中，$r$是行星到恒星的距离，$\theta$是行星相对于近日点的偏角，$L$是行星的角动量，$m$是行星的质量。

接下来，我们来考虑行星的运动轨迹，我们可以将行星的轨道分解为两个方向：径向和切向。因为径向受到万有引力的作用，所以我们可以应用牛顿第二定律，得到：

$F_r = ma_r = \frac$

同样的，因为切向速度是恒定的，所以我们可以应用牛顿第一定律，得到：

$F_t = ma_t = 0$

因此，我们可以将径向和切向方程合并，得到：

$\frac = -\frac$

这是一个常微分方程，可以通过求解得到行星的运动轨迹。为了方便计算，我们可以将$r$表示为椭圆轨道上的参数方程：

$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$

其中，$a$和$b$分别是椭圆的半长轴和半短轴。

将参数方程带入径向方程，可以得到：

$\frac + r = -\frac$

这是一个二阶线性非齐次微分方程，可以通过变量代换和特解法求解。

最终，我们得到了行星轨道周期的表达式：

$T = \frac{\sqrt}a^$

将其带入开普勒第三定律的公式中，即可得到：

$T^2 = \frac$

这就是开普勒第三定律的数学表达式。