在数学中，间断点是指函数在某个点处不连续的现象。根据间断点的性质，可以将其分为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。以下将通过一个例题来解析这些类型的判断方法。

考虑函数 $f(x)$，定义如下：

$$f(x) = \begin \frac, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end$$

首先，我们需要判断在 $x = 1$ 处是否存在间断点。由于函数在 $x = 1$ 处存在一个分式，因此需要特别注意。我们可以通过分母为零的情况来判断。

当 $x \neq 1$ 时，$x - 1 \neq 0$，因此分式有定义，函数值为：

$$f(x) = \frac = \frac = x + 1$$

当 $x = 1$ 时，分母为零，因此需要特别考虑。可以通过求极限来判断：

$$\lim_ f(x) = \lim_ \frac = \lim_ (x + 1) = 2$$

由于 $\lim_ f(x)$ 存在且有限，因此 $x = 1$ 处为可去间断点。

接下来，我们需要判断是否存在跳跃间断点或无穷间断点。对于本例题，由于函数在 $x = 1$ 处已经被定义为 $2$，因此不存在跳跃间断点。而对于无穷间断点，需要考虑当 $x$ 趋近于某些值时，函数是否趋近于无穷大或无穷小。

通过观察函数 $f(x)$ 的分式形式，我们可以发现当 $x$ 趋近于无穷大或无穷小时，分式的分子和分母同时趋近于无穷大或无穷小。因此，函数在无穷远处不存在间断点，也就是说，不存在无穷间断点。

综上所述，函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处为可去间断点，而不存在跳跃间断点或无穷间断点。