坐标法求点到平面的距离是解决空间几何问题的一种常用方法。在三维空间中,平面可以由一个法向量和一个过平面上的点确定。点到平面的距离就是点到平面上的垂线的长度。
假设平面的法向量为 $\vec=(a,b,c)$,过平面上的一点为 $P_0(x_0,y_0,z_0)$,点 $P(x,y,z)$ 到平面的距离为 $d$,我们可以得到以下公式:
$d=\frac{|\vec\cdot\vec|}{\|\vec\|}$
其中,$\vec$ 表示点 $P$ 到平面上任意一点 $P_0$ 的向量。
我们可以根据点 $P$ 的坐标和平面的法向量和过平面上的一点,求出 $\vec$ 和 $\vec$,进而求出点到平面的距离。
举个例子,假设平面的方程为 $2x+y-3z+4=0$,点 $P(1,-2,5)$ 到该平面的距离为多少?
首先,我们要确定平面的法向量和过平面上的一点。由平面的方程可知,该平面的法向量为 $\vec=(2,1,-3)$,过平面上的一点为 $P_0(0,0,4/3)$。
接下来,我们可以求出 $\vec$:
$\vec=\begin1-0\\-2-0\\5-4/3\end=\begin1\\-2\\11/3\end$
然后,计算 $\vec\cdot\vec$ 和 $\|\vec\|$:
$\vec\cdot\vec=2\times1+1\times(-2)-3\times(11/3)=-13$
$\|\vec\|=\sqrt=\sqrt$
最后,带入公式求出点到平面的距离:
$d=\frac{|\vec\cdot\vec|}{\|\vec\|}=\frac{\sqrt}\approx3.38$
因此,点 $P(1,-2,5)$ 到平面 $2x+y-3z+4=0$ 的距离为约为 $3.38$。
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