秦九韶是中国古代一位伟大的数学家，他在数学领域做出了许多重要的贡献。其中，他最著名的成就就是发明了一种叫做“正数开方数”的算法。这个算法被认为是中国古代数学史上的一大创举，对后世的数学研究和发展产生了深远的影响。

秦九韶的算法是一种求解正整数平方根的方法。在他的著作《数书九章》中，他详细地阐述了这个算法的原理和实现方法。根据他的描述，这个算法需要使用一张表格，其中记录了所有小于等于某个数的平方数的平方根。这个表格可以通过手工计算得到，但是秦九韶却发明了一种更为高效的方法，使用了一种叫做“除法”的运算法则，可以快速地计算出表格中的所有数值。

具体来说，秦九韶的算法是这样实现的。对于要求平方根的正整数n，首先找到一个最大的整数m，使得m²≤n。然后，在表格中查找m对应的平方根值，并记为a。接下来，用n除以a，得到商q和余数r。如果r等于0，说明n是完全平方数，其平方根就是a。否则，就将表格中的下一个数值b加入到a上，得到新的数值a+b，然后将n除以a+b，得到商q1和余数r1。如果r1等于0，那么n的平方根就是a+b；否则，就继续按照这个方法迭代下去，直到找到一个平方根的值。

通过这个算法，秦九韶成功地解决了求解正整数平方根的难题，为数学研究和应用提供了一个重要的工具。同时，他的算法也反映了中国古代数学家的智慧和创造力，为后世留下了宝贵的遗产。