在数学中，函数收敛是一个非常重要的概念。在研究函数收敛的时候，一个问题经常被人们所关注：函数收敛一定有界吗？

首先，让我们来回顾一下收敛的定义。在数学中，如果一个函数$f(x)$在$x\rightarrow a$的时候趋近于一个常数$L$，那么我们称$f(x)$在$x\rightarrow a$的时候收敛于$L$。数学符号表示为：

$$\lim_f(x)=L$$

那么，函数收敛一定有界吗？答案是肯定的。下面是证明过程：

假设一个函数$f(x)$在$x\rightarrow a$的时候收敛于$L$，但是$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间没有界。也就是说，对于任意的$M$，都存在$x_1$和$x_2$，使得$|f(x_1)|>M$且$|f(x_2)|>M$。

由于$f(x)$在$x\rightarrow a$的时候收敛于$L$，因此，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\epsilon$。

取$\epsilon=\frac$，那么就存在一个$\delta$，使得当$|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\frac$。也就是说，$|f(x)-L|>\frac$时，$|x-a|>\delta$。

但是，由于$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间没有界，因此，一定存在一个$x_3$，使得$|x_3-a|<\delta$且$|f(x_3)|>M$。那么，$|f(x_3)-L|>\frac$，与$f(x)$在$x\rightarrow a$的时候收敛于$L$矛盾。因此，假设不成立，函数收敛一定有界。

综上所述，函数收敛一定有界。这个结论在数学分析中非常重要，它保证了我们在研究函数的极限性质的时候，不需要考虑函数是否无界的情况。